「交換留学と一緒で学部生の方が枠が多いとか選考で優先されたりするんじゃないの？」
むしろ大学院生が有利です！
海外のインターンシップでは実際の業務に合わせたスキルが学生側に求められます。必要とされる専門分野の素養がどれだけあるかで仕事の到達度も変わってくるため、専門能力を有する大学院生がむしろ学部生よりも優先されます。特に研究開発に関わる仕事では、研究能力がない学生は選考対象から外れる場合があります。
大学院生のみなさん、積極的に応募しましょう！
そもそも、海外インターンシップに行くためには海外の企業・団体に受け入れてもらう必要があります。
そのため申請には次の２通りの方法があります。
１）海外の企業・団体が主催して学生を募集するインターンシップ
２）海外の企業・団体と提携する組織があり、その組織を仲介して派遣されるインターンシップ
前者は企業が独自に選考・受け入れを設定しているため、業務内容等も把握しやすいです。有名なものだと米国のMicrosoft Researchが主催するインターンシップがあります。自分が希望する企業に挑戦できる一方で、しばしば熾烈な競争を勝ち抜く必要があります。
後者は日本企業が海外の企業と提携している、あるいは海外に事業所がある（調理やホテル接客といった職業型のものが多い）場合と、各国に仲介組織の支部があり、相互に学生を派遣している場合があります。自分では見つけられないオファーや、自分のスキル・専門分野にあったオファーを提示してもらえます。
ここでは、毎年多くの学生を派遣している３つの仲介組織を例に挙げて紹介します。