0. Home
1. データ分析初歩の初歩
1.1 実例でわかる！統計学の重要性
1.2 どのようにデータを取れば良いか
1.3 統計量の基本
1.4 頻出用語の定義確認
2. 統計的仮説検定の仕組み
4. \(t\)検定
4.1 1標本\(t\)検定
5. 相関分析
6. 分散分析
6.2 一元配置分散分析 (対応あり)
7.1 単回帰分析 (単回帰モデル)
7.2 重回帰分析 (重回帰モデル)
8. ノンパラメトリック検定
7.1 適合度の検定
7.2 独立性の検定
7.3 マン・ホイットニーのU検定
9. 実践！データ分析
9.1 Rを使った分析その前に
9.2 \(t\)検定
9.3 分散分析
9.4 線形モデリング (回帰分析)
9.5 ノンパラメトリック検定
11. おわりに
12. 参考文献
13. 付録
棄却域を探すときに使える数表のうち，このガイドで取り上げたものや重要なものをピックアップして掲載しています。
このガイドで示した例題やその他のテキストの演習問題を解くときにぜひご活用ください。
\begin{array} {c|cccccccccc}
z & 0 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\ \hline
0 & 0.5 & 0.49601 & 0.49202 & 0.48803 & 0.48405 & 0.48006 & 0.47608 & 0.4721 & 0.46812 & 0.46414 \\
0.1 & 0.46017 & 0.4562 & 0.45224 & 0.44828 & 0.44433 & 0.44038 & 0.43644 & 0.43251 & 0.42858 & 0.42465 \\
0.2 & 0.42074 & 0.41683 & 0.41294 & 0.40905 & 0.40517 & 0.40129 & 0.39743 & 0.39358 & 0.38974 & 0.38591 \\
0.3 & 0.38209 & 0.37828 & 0.37448 & 0.3707 & 0.36693 & 0.36317 & 0.35942 & 0.35569 & 0.35197 & 0.34827 \\
0.4 & 0.34458 & 0.3409 & 0.33724 & 0.3336 & 0.32997 & 0.32636 & 0.32276 & 0.31918 & 0.31561 & 0.31207 \\
0.5 & 0.30854 & 0.30503 & 0.30153 & 0.29806 & 0.2946 & 0.29116 & 0.28774 & 0.28434 & 0.28096 & 0.2776 \\
0.6 & 0.27425 & 0.27093 & 0.26763 & 0.26435 & 0.26109 & 0.25785 & 0.25463 & 0.25143 & 0.24825 & 0.2451 \\
0.7 & 0.24196 & 0.23885 & 0.23576 & 0.2327 & 0.22965 & 0.22663 & 0.22363 & 0.22065 & 0.2177 & 0.21476 \\
0.8 & 0.21186 & 0.20897 & 0.20611 & 0.20327 & 0.20045 & 0.19766 & 0.19489 & 0.19215 & 0.18943 & 0.18673 \\
0.9 & 0.18406 & 0.18141 & 0.17879 & 0.17619 & 0.17361 & 0.17106 & 0.16853 & 0.16602 & 0.16354 & 0.16109 \\
1 & 0.15866 & 0.15625 & 0.15386 & 0.15151 & 0.14917 & 0.14686 & 0.14457 & 0.14231 & 0.14007 & 0.13786 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
1.1 & 0.13567 & 0.1335 & 0.13136 & 0.12924 & 0.12714 & 0.12507 & 0.12302 & 0.121 & 0.119 & 0.11702 \\
1.2 & 0.11507 & 0.11314 & 0.11123 & 0.10935 & 0.10749 & 0.10565 & 0.10383 & 0.10204 & 0.10027 & 0.09853 \\
1.3 & 0.0968 & 0.0951 & 0.09342 & 0.09176 & 0.09012 & 0.08851 & 0.08691 & 0.08534 & 0.08379 & 0.08226 \\
1.4 & 0.08076 & 0.07927 & 0.0778 & 0.07636 & 0.07493 & 0.07353 & 0.07215 & 0.07078 & 0.06944 & 0.06811 \\
1.5 & 0.06681 & 0.06552 & 0.06426 & 0.06301 & 0.06178 & 0.06057 & 0.05938 & 0.05821 & 0.05705 & 0.05592 \\
1.6 & 0.0548 & 0.0537 & 0.05262 & 0.05155 & 0.0505 & 0.04947 & 0.04846 & 0.04746 & 0.04648 & 0.04551 \\
1.7 & 0.04457 & 0.04363 & 0.04272 & 0.04182 & 0.04093 & 0.04006 & 0.0392 & 0.03836 & 0.03754 & 0.03673 \\
1.8 & 0.03593 & 0.03515 & 0.03438 & 0.03362 & 0.03288 & 0.03216 & 0.03144 & 0.03074 & 0.03005 & 0.02938 \\
1.9 & 0.02872 & 0.02807 & 0.02743 & 0.0268 & 0.02619 & 0.02559 & 0.025 & 0.02442 & 0.02385 & 0.0233 \\
2 & 0.02275 & 0.02222 & 0.02169 & 0.02118 & 0.02068 & 0.02018 & 0.0197 & 0.01923 & 0.01876 & 0.01831 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
2.1 & 0.01786 & 0.01743 & 0.017 & 0.01659 & 0.01618 & 0.01578 & 0.01539 & 0.015 & 0.01463 & 0.01426 \\
2.2 & 0.0139 & 0.01355 & 0.01321 & 0.01287 & 0.01255 & 0.01222 & 0.01191 & 0.0116 & 0.0113 & 0.01101 \\
2.3 & 0.01072 & 0.01044 & 0.01017 & 0.0099 & 0.00964 & 0.00939 & 0.00914 & 0.00889 & 0.00866 & 0.00842 \\
2.4 & 0.0082 & 0.00798 & 0.00776 & 0.00755 & 0.00734 & 0.00714 & 0.00695 & 0.00676 & 0.00657 & 0.00639 \\
2.5 & 0.00621 & 0.00604 & 0.00587 & 0.0057 & 0.00554 & 0.00539 & 0.00523 & 0.00508 & 0.00494 & 0.0048 \\
2.6 & 0.00466 & 0.00453 & 0.0044 & 0.00427 & 0.00415 & 0.00402 & 0.00391 & 0.00379 & 0.00368 & 0.00357 \\
2.7 & 0.00347 & 0.00336 & 0.00326 & 0.00317 & 0.00307 & 0.00298 & 0.00289 & 0.0028 & 0.00272 & 0.00264 \\
2.8 & 0.00256 & 0.00248 & 0.0024 & 0.00233 & 0.00226 & 0.00219 & 0.00212 & 0.00205 & 0.00199 & 0.00193 \\
2.9 & 0.00187 & 0.00181 & 0.00175 & 0.00169 & 0.00164 & 0.00159 & 0.00154 & 0.00149 & 0.00144 & 0.00139 \\
3 & 0.00135 & 0.00131 & 0.00126 & 0.00122 & 0.00118 & 0.00114 & 0.00111 & 0.00107 & 0.00104 & 0.001 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
3.1 & 0.00097 & 0.00094 & 0.0009 & 0.00087 & 0.00084 & 0.00082 & 0.00079 & 0.00076 & 0.00074 & 0.00071 \\
3.2 & 0.00069 & 0.00066 & 0.00064 & 0.00062 & 0.0006 & 0.00058 & 0.00056 & 0.00054 & 0.00052 & 0.0005 \\
3.3 & 0.00048 & 0.00047 & 0.00045 & 0.00043 & 0.00042 & 0.0004 & 0.00039 & 0.00038 & 0.00036 & 0.00035 \\
3.4 & 0.00034 & 0.00032 & 0.00031 & 0.0003 & 0.00029 & 0.00028 & 0.00027 & 0.00026 & 0.00025 & 0.00024 \\
3.5 & 0.00023 & 0.00022 & 0.00022 & 0.00021 & 0.0002 & 0.00019 & 0.00019 & 0.00018 & 0.00017 & 0.00017 \\ \hline
\end{array}
※これよりzが大きい時の片側確率については，教科書などでご確認ください。
\begin{array}{c|ccc}
& & 有意水準\alpha &\\
& & (片側検定の場合) & \\ \hline
自由度 & 0.1 & 0.05 & 0.01 \\ \hline
1 & 3.078 & 6.314 & 31.821 \\
2 & 1.886 & 2.920 & 6.965 \\
3 & 1.638 & 2.353 & 4.541 \\
4 & 1.533 & 2.132 & 3.747 \\
5 & 1.476 & 2.015 & 3.365 \\
6 & 1.440 & 1.943 & 3.143 \\
7 & 1.415 & 1.895 & 2.998 \\
8 & 1.397 & 1.860 & 2.896 \\
9 & 1.383 & 1.833 & 2.821 \\
10 & 1.372 & 1.812 & 2.764 \\ \hline
& & & \\ \hline
11 & 1.363 & 1.796 & 2.718 \\
12 & 1.356 & 1.782 & 2.681 \\
13 & 1.350 & 1.771 & 2.650 \\
14 & 1.345 & 1.761 & 2.624 \\
15 & 1.341 & 1.753 & 2.602 \\
16 & 1.337 & 1.746 & 2.583 \\
17 & 1.333 & 1.740 & 2.567 \\
18 & 1.330 & 1.734 & 2.552 \\
19 & 1.328 & 1.729 & 2.539 \\
20 & 1.325 & 1.725 & 2.528 \\ \hline
& & & \\ \hline
21 & 1.323 & 1.721 & 2.518 \\
22 & 1.321 & 1.717 & 2.508 \\
23 & 1.319 & 1.714 & 2.500 \\
24 & 1.318 & 1.711 & 2.492 \\
25 & 1.316 & 1.708 & 2.485 \\
26 & 1.315 & 1.706 & 2.479 \\
27 & 1.314 & 1.703 & 2.473 \\
28 & 1.313 & 1.701 & 2.467 \\
29 & 1.311 & 1.699 & 2.462 \\
30 & 1.310 & 1.697 & 2.457 \\ \hline
& & & \\ \hline
40 & 1.303 & 1.684 & 2.423 \\
60 & 1.296 & 1.671 & 2.390 \\
120 & 1.289 & 1.658 & 2.358 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c|ccc}
& & 有意水準\alpha &\\
& & (両側検定の場合) & \\ \hline
自由度 & 0.1 & 0.05 & 0.01 \\ \hline
1 & 6.314 & 12.706 & 63.657 \\
2 & 2.920 & 4.303 & 9.925 \\
3 & 2.353 & 3.182 & 5.841 \\
4 & 2.132 & 2.776 & 4.604 \\
5 & 2.015 & 2.571 & 4.032 \\
6 & 1.943 & 2.447 & 3.707 \\
7 & 1.895 & 2.365 & 3.499 \\
8 & 1.860 & 2.306 & 3.355 \\
9 & 1.833 & 2.262 & 3.250 \\
10 & 1.812 & 2.228 & 3.169 \\ \hline
& & & \\ \hline
11 & 1.796 & 2.201 & 3.106 \\
12 & 1.782 & 2.179 & 3.055 \\
13 & 1.771 & 2.160 & 3.012 \\
14 & 1.761 & 2.145 & 2.977 \\
15 & 1.753 & 2.131 & 2.947 \\
16 & 1.746 & 2.120 & 2.921 \\
17 & 1.740 & 2.110 & 2.898 \\
18 & 1.734 & 2.101 & 2.878 \\
19 & 1.729 & 2.093 & 2.861 \\
20 & 1.725 & 2.086 & 2.845 \\ \hline
& & & \\ \hline
21 & 1.721 & 2.080 & 2.831 \\
22 & 1.717 & 2.074 & 2.819 \\
23 & 1.714 & 2.069 & 2.807 \\
24 & 1.711 & 2.064 & 2.797 \\
25 & 1.708 & 2.060 & 2.787 \\
26 & 1.706 & 2.056 & 2.779 \\
27 & 1.703 & 2.052 & 2.771 \\
28 & 1.701 & 2.048 & 2.763 \\
29 & 1.699 & 2.045 & 2.756 \\
30 & 1.697 & 2.042 & 2.750 \\ \hline
& & & \\ \hline
40 & 1.684 & 2.021 & 2.704 \\
60 & 1.671 & 2.000 & 2.660 \\
120 & 1.658 & 1.980 & 2.617 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c|cccccccccc}
&& & & & & 分子の自由度 & & & & & \\
分母の自由度 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
1 & 161.448 & 199.500 & 215.707 & 224.583 & 230.162 & 233.986 & 236.768 & 238.883 & 240.543 & 241.882 \\
2 & 18.513 & 19.000 & 19.164 & 19.247 & 19.296 & 19.330 & 19.353 & 19.371 & 19.385 & 19.396 \\
3 & 10.128 & 9.552 & 9.277 & 9.117 & 9.013 & 8.941 & 8.887 & 8.845 & 8.812 & 8.786 \\
4 & 7.709 & 6.944 & 6.591 & 6.388 & 6.256 & 6.163 & 6.094 & 6.041 & 5.999 & 5.964 \\
5 & 6.608 & 5.786 & 5.409 & 5.192 & 5.050 & 4.950 & 4.876 & 4.818 & 4.772 & 4.735 \\
6 & 5.987 & 5.143 & 4.757 & 4.534 & 4.387 & 4.284 & 4.207 & 4.147 & 4.099 & 4.060 \\
7 & 5.591 & 4.737 & 4.347 & 4.120 & 3.972 & 3.866 & 3.787 & 3.726 & 3.677 & 3.637 \\
8 & 5.318 & 4.459 & 4.066 & 3.838 & 3.687 & 3.581 & 3.500 & 3.438 & 3.388 & 3.347 \\
9 & 5.117 & 4.256 & 3.863 & 3.633 & 3.482 & 3.374 & 3.293 & 3.230 & 3.179 & 3.137 \\
10 & 4.965 & 4.103 & 3.708 & 3.478 & 3.326 & 3.217 & 3.135 & 3.072 & 3.020 & 2.978 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
11 & 4.844 & 3.982 & 3.587 & 3.357 & 3.204 & 3.095 & 3.012 & 2.948 & 2.896 & 2.854 \\
12 & 4.747 & 3.885 & 3.490 & 3.259 & 3.106 & 2.996 & 2.913 & 2.849 & 2.796 & 2.753 \\
13 & 4.667 & 3.806 & 3.411 & 3.179 & 3.025 & 2.915 & 2.832 & 2.767 & 2.714 & 2.671 \\
14 & 4.600 & 3.739 & 3.344 & 3.112 & 2.958 & 2.848 & 2.764 & 2.699 & 2.646 & 2.602 \\
15 & 4.543 & 3.682 & 3.287 & 3.056 & 2.901 & 2.790 & 2.707 & 2.641 & 2.588 & 2.544 \\
16 & 4.494 & 3.634 & 3.239 & 3.007 & 2.852 & 2.741 & 2.657 & 2.591 & 2.538 & 2.494 \\
17 & 4.451 & 3.592 & 3.197 & 2.965 & 2.810 & 2.699 & 2.614 & 2.548 & 2.494 & 2.450 \\
18 & 4.414 & 3.555 & 3.160 & 2.928 & 2.773 & 2.661 & 2.577 & 2.510 & 2.456 & 2.412 \\
19 & 4.381 & 3.522 & 3.127 & 2.895 & 2.740 & 2.628 & 2.544 & 2.477 & 2.423 & 2.378 \\
20 & 4.351 & 3.493 & 3.098 & 2.866 & 2.711 & 2.599 & 2.514 & 2.447 & 2.393 & 2.348 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
22 & 4.301 & 3.443 & 3.049 & 2.817 & 2.661 & 2.549 & 2.464 & 2.397 & 2.342 & 2.297 \\
24 & 4.260 & 3.403 & 3.009 & 2.776 & 2.621 & 2.508 & 2.423 & 2.355 & 2.300 & 2.255 \\
26 & 4.225 & 3.369 & 2.975 & 2.743 & 2.587 & 2.474 & 2.388 & 2.321 & 2.265 & 2.220 \\
28 & 4.196 & 3.340 & 2.947 & 2.714 & 2.558 & 2.445 & 2.359 & 2.291 & 2.236 & 2.190 \\
30 & 4.171 & 3.316 & 2.922 & 2.690 & 2.534 & 2.421 & 2.334 & 2.266 & 2.211 & 2.165 \\
40 & 4.085 & 3.232 & 2.839 & 2.606 & 2.449 & 2.336 & 2.249 & 2.180 & 2.124 & 2.077 \\
50 & 4.034 & 3.183 & 2.790 & 2.557 & 2.400 & 2.286 & 2.199 & 2.130 & 2.073 & 2.026 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
100 & 3.936 & 3.087 & 2.696 & 2.463 & 2.305 & 2.191 & 2.103 & 2.032 & 1.975 & 1.927 \\
200 & 3.888 & 3.041 & 2.650 & 2.417 & 2.259 & 2.144 & 2.056 & 1.985 & 1.927 & 1.878 \\
400 & 3.865 & 3.018 & 2.627 & 2.394 & 2.237 & 2.121 & 2.032 & 1.962 & 1.903 & 1.854 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c|cccccccccc}
&& & & & & 分子の自由度 & & & & & \\
分母の自由度 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
1 & 4052.181 & 4999.500 & 5403.352 & 5624.583 & 5763.650 & 5858.986 & 5928.356 & 5981.070 & 6022.473 & 6055.847 \\
2 & 98.503 & 99.000 & 99.166 & 99.249 & 99.299 & 99.333 & 99.356 & 99.374 & 99.388 & 99.399 \\
3 & 34.116 & 30.817 & 29.457 & 28.710 & 28.237 & 27.911 & 27.672 & 27.489 & 27.345 & 27.229 \\
4 & 21.198 & 18.000 & 16.694 & 15.977 & 15.522 & 15.207 & 14.976 & 14.799 & 14.659 & 14.546 \\
5 & 16.258 & 13.274 & 12.060 & 11.392 & 10.967 & 10.672 & 10.456 & 10.289 & 10.158 & 10.051 \\
6 & 13.745 & 10.925 & 9.780 & 9.148 & 8.746 & 8.466 & 8.260 & 8.102 & 7.976 & 7.874 \\
7 & 12.246 & 9.547 & 8.451 & 7.847 & 7.460 & 7.191 & 6.993 & 6.840 & 6.719 & 6.620 \\
8 & 11.259 & 8.649 & 7.591 & 7.006 & 6.632 & 6.371 & 6.178 & 6.029 & 5.911 & 5.814 \\
9 & 10.561 & 8.022 & 6.992 & 6.422 & 6.057 & 5.802 & 5.613 & 5.467 & 5.351 & 5.257 \\
10 & 10.044 & 7.559 & 6.552 & 5.994 & 5.636 & 5.386 & 5.200 & 5.057 & 4.942 & 4.849 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
11 & 9.646 & 7.206 & 6.217 & 5.668 & 5.316 & 5.069 & 4.886 & 4.744 & 4.632 & 4.539 \\
12 & 9.330 & 6.927 & 5.953 & 5.412 & 5.064 & 4.821 & 4.640 & 4.499 & 4.388 & 4.296 \\
13 & 9.074 & 6.701 & 5.739 & 5.205 & 4.862 & 4.620 & 4.441 & 4.302 & 4.191 & 4.100 \\
14 & 8.862 & 6.515 & 5.564 & 5.035 & 4.695 & 4.456 & 4.278 & 4.140 & 4.030 & 3.939 \\
15 & 8.683 & 6.359 & 5.417 & 4.893 & 4.556 & 4.318 & 4.142 & 4.004 & 3.895 & 3.805 \\
16 & 8.531 & 6.226 & 5.292 & 4.773 & 4.437 & 4.202 & 4.026 & 3.890 & 3.780 & 3.691 \\
17 & 8.400 & 6.112 & 5.185 & 4.669 & 4.336 & 4.102 & 3.927 & 3.791 & 3.682 & 3.593 \\
18 & 8.285 & 6.013 & 5.092 & 4.579 & 4.248 & 4.015 & 3.841 & 3.705 & 3.597 & 3.508 \\
19 & 8.185 & 5.926 & 5.010 & 4.500 & 4.171 & 3.939 & 3.765 & 3.631 & 3.523 & 3.434 \\
20 & 8.096 & 5.849 & 4.938 & 4.431 & 4.103 & 3.871 & 3.699 & 3.564 & 3.457 & 3.368 \\ \hline
& & & & & & & & & & \\ \hline
22 & 7.945 & 5.719 & 4.817 & 4.313 & 3.988 & 3.758 & 3.587 & 3.453 & 3.346 & 3.258 \\
24 & 7.823 & 5.614 & 4.718 & 4.218 & 3.895 & 3.667 & 3.496 & 3.363 & 3.256 & 3.168 \\
26 & 7.721 & 5.526 & 4.637 & 4.140 & 3.818 & 3.591 & 3.421 & 3.288 & 3.182 & 3.094 \\
28 & 7.636 & 5.453 & 4.568 & 4.074 & 3.754 & 3.528 & 3.358 & 3.226 & 3.120 & 3.032 \\
30 & 7.562 & 5.390 & 4.510 & 4.018 & 3.699 & 3.473 & 3.304 & 3.173 & 3.067 & 2.979 \\
40 & 7.314 & 5.179 & 4.313 & 3.828 & 3.514 & 3.291 & 3.124 & 2.993 & 2.888 & 2.801 \\
50 & 7.171 & 5.057 & 4.199 & 3.720 & 3.408 & 3.186 & 3.020 & 2.890 & 2.785 & 2.698 \\
100 & 6.895 & 4.824 & 3.984 & 3.513 & 3.206 & 2.988 & 2.823 & 2.694 & 2.590 & 2.503 \\
200 & 6.763 & 4.713 & 3.881 & 3.414 & 3.110 & 2.893 & 2.730 & 2.601 & 2.497 & 2.411 \\
400 & 6.699 & 4.659 & 3.831 & 3.366 & 3.063 & 2.847 & 2.684 & 2.556 & 2.452 & 2.365 \\ \hline
\end{array}
\begin{array} {c|ccc}
自由度 & &有意水準 \alpha \\ \hline
& 0.05 & & 0.01 \\ \hline
1 & 3.841 & & 6.635 \\
2 & 5.991 & & 9.210 \\
3 & 7.815 & & 11.345 \\
4 & 9.488 & & 13.277 \\
5 & 11.070 & & 15.086 \\
6 & 12.592 & & 16.812 \\
7 & 14.067 & & 18.475 \\
8 & 15.507 & & 20.090 \\
9 & 16.919 & & 21.666 \\
10 & 18.307 & & 23.209 \\ \hline
& & & & \\ \hline
11 & 19.675 & & 24.725 \\
12 & 21.026 & & 26.217 \\
13 & 22.362 & & 27.688 \\
14 & 23.685 & & 29.141 \\
15 & 24.996 & &30.578 \\
16 & 26.296 & & 32.000 \\
17 & 27.587 & & 33.409 \\
18 & 28.869 & & 34.805 \\
19 & 30.144 & & 36.191 \\
20 & 31.410 & & 37.566 \\ \hline
& & & & \\ \hline
21 & 32.671 & & 38.932 \\
22 & 33.924 & & 40.289 \\
23 & 35.172 & & 41.638 \\
24 & 36.415 & & 42.980 \\
25 & 37.652 & & 44.314 \\
26 & 38.885 & & 45.642 \\
27 & 40.113 & & 46.963 \\
28 & 41.337 & & 48.278 \\
29 & 42.557 & & 49.588 \\
30 & 43.773 & & 50.892 \\ \hline
\end{array}
\begin{array} {c|ccccccccccccccccccc}
& && & & & & & & & & n1& & & & & & & & & \\
n2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\\hline
2 & & & & & & & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
3 & & & & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 8 \\
4 & & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
5 & & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
6 & & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 10 & 11 & 13 & 14 & 16 & 17 & 19 & 21 & 22 & 24 & 25 & 27 \\
7 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 30 & 32 & 34 \\
8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 7 & 10 & 13 & 15 & 17 & 19 & 22 & 24 & 26 & 29 & 31 & 34 & 36 & 38 & 41 \\
9 & 0 & 2 & 4 & 7 & 10 & 12 & 15 & 17 & 20 & 23 & 26 & 28 & 31 & 34 & 37 & 39 & 42 & 45 & 48 \\
10 & 0 & 3 & 5 & 8 & 11 & 14 & 17 & 20 & 23 & 26 & 29 & 33 & 36 & 39 & 42 & 45 & 48 & 52 & 55 \\
11 & 0 & 3 & 6 & 9 & 13 & 16 & 19 & 23 & 26 & 30 & 33 & 37 & 40 & 44 & 47 & 51 & 55 & 58 & 62 \\
12 & 1 & 4 & 7 & 11 & 14 & 18 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49 & 53 & 57 & 61 & 65 & 69 \\
13 & 1 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 33 & 37 & 41 & 45 & 50 & 54 & 59 & 63 & 67 & 72 & 76 \\
14 & 1 & 5 & 9 & 13 & 17 & 22 & 26 & 31 & 36 & 40 & 45 & 50 & 55 & 59 & 64 & 67 & 74 & 78 & 83 \\
15 & 1 & 5 & 10 & 14 & 19 & 24 & 29 & 34 & 39 & 44 & 49 & 54 & 59 & 64 & 70 & 75 & 80 & 85 & 90 \\
16 & 1 & 6 & 11 & 15 & 21 & 26 & 31 & 37 & 42 & 47 & 53 & 59 & 64 & 70 & 75 & 81 & 86 & 92 & 98 \\
17 & 2 & 6 & 11 & 17 & 22 & 28 & 34 & 39 & 45 & 51 & 57 & 63 & 67 & 75 & 81 & 87 & 93 & 99 & 105 \\
18 & 2 & 7 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 55 & 61 & 67 & 74 & 80 & 86 & 93 & 99 & 106 & 112 \\
19 & 2 & 7 & 13 & 19 & 25 & 32 & 38 & 45 & 52 & 58 & 65 & 72 & 78 & 85 & 92 & 99 & 106 & 113 & 119 \\
20 & 2 & 8 & 13 & 20 & 27 & 34 & 41 & 48 & 55 & 62 & 69 & 76 & 83 & 90 & 98 & 105 & 112 & 119 & 127 \\ \hline
\end{array}